3.6 Maximos y minimo

Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.

• El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio.
  

3.5 puntos de implezicion

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente.

Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesiva hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es.

3.4 obtimizacion clasica

La teoría de optimización clásica o programación matemática está constituida por un conjunto de resultados y métodos analíticos y numéricos enfocados a encontrar e identificar al mejor candidato de entre una colección de alternativas, sin tener que enumerar y evaluar explícitamente todas esas alternativas. Un problema de optimización es, en general, un problema de decisión.

Con el fin de ilustrar de forma adecuada la estructura y composición de un problema de optimización, introduciremos a continuación un sencillo ejemplo.

Ejemplo 1(Construcción de una caja con volumen máximo) Supongamos que queremos determinar las dimensiones de una caja rectangular de forma que contenga el mayor volumen posible, pero utilizando para ello una cantidad fija de material. El problema en forma abstracta se podría plantear en los siguientes términos Maximizar Volumen de la caja sujeto a Área lateral fija Con el fin de resolver este problema habrá que modelizarlo matemáticamente, es decir tendremos que expresarlo en términos matemáticos.

El primer paso para modelizar un problema de optimización es identificar y definir las variables que están implicadas en dicho problema, en este caso y puesto que estamos tratando de determinar el tamaño de una caja rectangular, la opción más clara es considerar como variables sus tres dimensiones rectangulares usuales (ancho, largo, alto) y que representamos con x, y, z. Con estas variables, la función para la que tenemos que encontrar el mejor valor será el volumen de la caja que puede expresarse como V (x, y, z) = xyz.

 A continuación debemos tener en cuenta las limitaciones existentes sobre el material. Como este material se utiliza para construir las paredes de la caja, necesitaremos considerar el área lateral de la misma, y si la caja tiene tapa, dicha área será A (x, y, z)= 2(xy + yz + zx).

Por último, teniendo en cuenta que las dimensiones de la caja no pueden ser negativas el problema puede expresarse matemáticamente como Maximizar xyz sujeto a 2 (xy + yz + zx) = A x, y, z ≥ 0.

3.3 tipos de problemas de programacion no lineal

Los problemas de programación no lineal se presentan de muchas formas distintas. Al contrario

del método símplex para programación lineal, no se dispone de un algoritmo que resuelva

todos estos tipos especiales de problemas. En su lugar, se han desarrollado algoritmos

para algunas clases de problemas de programación no lineal.

Optimización no restringida

Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función

objetivo es sencillamente

Maximizar /(x)

sobre todos los valores x= (jíj, x2,…,xn). Según el repaso del apéndice 3 , la condición necesaria

para que una solución específica x = x* sea óptima cuando /(x) es una función diferenciable.

Optimización linealmente restringida

Los problemas de optimización linealmente restringida se caracterizan por restricciones que se ajustan por completo a la programación lineal, de manera que todas las funciones de restricción

g¡ (x) son lineales, pero la función objetivo es no lineal. El problema se simplifica mucho

si sólo se tiene que tomar en cuenta una función no lineal junto con una región factible de

programación lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados en una extensión

del método símplex para analizar la función objetivo no lineal.

Un caso especial importante descrito a continuación es la programación cuadrática.

Programación cuadrática

De nuevo los problemas de programación cuadrática tienen restricciones lineales, pero ahora

la función objetivo /(x) debe ser cuadrática. Entonces, la única diferencia entre éstos y un problema de programación lineal es que algunos términos de la función objetivo incluyen el

cuadrado de una variable o el producto de dos variables.

Programación convexa

La programación convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos especiales,

están todos los tipos anteriores cuando /(x) es cóncava. Las suposiciones son

1. /(x) es cóncava.

2. Cada una de las g¿(x) es convexa.

Programación convexa

La programación convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos especiales,

están todos los tipos anteriores cuando /(x) es cóncava. Las suposiciones son

1. /(x) es cóncava.

2. Cada una de las g¿(x) es convexa.

Programación no convexa

La programación no convexa incluye todos los problemas de programación no lineal que no satisfacen

las suposiciones de programación convexa. En este caso, aun cuando se tenga éxito

en encontrar un máximo local, no hay garantía de que sea también un máximo global. Por lo

tanto, no se tiene un algoritmo que garantice encontrar una solución óptima para todos estos

problemas; pero sí existen algunos algoritmos bastante adecuados para encontrar máximos locales,

en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvían demasiado de

aquellas que se supusieron para programación convexa.

Programación no convexa

La programación no convexa incluye todos los problemas de programación no lineal que no satisfacen

las suposiciones de programación convexa. En este caso, aun cuando se tenga éxito

en encontrar un máximo local, no hay garantía de que sea también un máximo global. Por lo

tanto, no se tiene un algoritmo que garantice encontrar una solución óptima para todos estos

problemas; pero sí existen algunos algoritmos bastante adecuados para encontrar máximos locales,

en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvían demasiado de

aquellas que se supusieron para programación convexa.

Problema de complementariedad

Cuando se estudie la programación cuadrática en la sección 13.7, se verá un ejemplo de cómo

la solución de ciertos problemas de programación no lineal se puede reducir a resolver el problema

de complementariedad. Dadas las variables wy,w2,…,wp y el problema

de complementariedad encuentra una s o l u c i o n a r á para el conjunto de restricciones

que también satisface la restricción de complementariedad,

wr z = 0 .

3.2 ilustracion grafica de problemas de programacion no lineal

Cuando un problema de programación no lineal tiene solo una o dos variables, se puede representar gráficamente de forma muy parecida a algún ejemplo anterior de programación lineal. Se verán unos cuantos ejemplos, ya que una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones óptimas de programación lineal y no lineal. Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y no lineal, se usaran algunas variaciones no lineales del problema anterior. La figura siguiente muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se hacen al modelo mencionado son que la segunda y tercera restricciones funcionales se sustituyen por la restricción no lineal 9X21 + 5X22 <=216. Compare las figuras que se presentan a continuación. La solución óptima sigue siendo (X1, X2) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible, pero no es una solución factible en un vértice (FEV).


La solución óptima pudo haber sido una solución FEV con una función objetivo diferente (verifique Z=3X1 + X2), pero que no necesite serlo no significa que ya no se puede aprovechar la gran simplificación utilizada en programación lineal que permite limitar la búsqueda de una solución óptima para las soluciones FEV. Ahora suponga que las restricciones lineales d la sección anterior se conserva sin cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal. Por ejemplo si:

Entonces la representación gráfica en la anterior indica que la solución óptima es X1=8/3, X2=5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El valor óptimo de Z es Z=857, así en la figura anterior muestra el hecho de que el lugar geométrico de todos los puntos para los que z=857 tiene en común con la región factible solo este punto, mientras que el lugar geométrico de los puntos con Z más grandes no toca la región factible en ningún punto.) Por otro lado, si:

3.1 conceptos basicos de problemas de programacion no lineal

El objeto de las siguientes secciones es definir una serie de conceptos relacionados con el problema general de programación no lineal, así como el estudio de las relaciones existentes entre cada uno de ellos y la solución de dicho problema. Los conceptos que estudiaremos serán los siguientes: • Punto estacionario, en la sección 3. • Punto minimax, íntimamente relacionado con el concepto de dualidad, y que se estudiará en la sección 4. Veremos que, en general, será más directa la demostración de la suficiencia de estas condiciones para asegurar que tenemos una solución del problema que la de la necesariedad de las mismas, para las que habrá que imponer condiciones de regularidad sobre las restricciones del problema, que llamaremos cualificaciones de restricciones. En esta sección se enuncian varias cualificaciones de restricciones y se estudia la relación entre ellas. En general, los resultados que se obtienen generalizan los dados en la sección anterior para los problemas con restricciones de igualdad, en el sentido de la existencia de condiciones de primer orden que implican a las primeras parciales de la función de Lagrange asociada al problema, y condiciones de segundo orden que suponen convexidad de ciertas funciones. Un problema general de programación no lineal consiste en encontrar los valores de ciertas variables que maximizan o minimizan una función dada, dentro de un conjunto definido por una serie de restricciones de desigualdad, de forma que no hay aseguradas condiciones de linealidad ni sobre la función a optimizar ni sobre las funciones que definen el conjunto dentro del cual buscamos dicho óptimo.